Union-Find 알고리즘

 

Union-Find (서로소 집합) 자료구조

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

 

• union(합집합) 연산 : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산

• find(찾기) 연산 : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

 

Union-Find 알고리즘

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

    - A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.

    - A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다.)

2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

* 일반적으로 더 번호가 작은 원소가 부모 노드(작은 원소를 가르킴)가 되도록 구현하는 경우가 많다.

* 부모 테이블을 통해 수행한다.

 

• Union-Find 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)  # 부모테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print("각 원소가 속한 집합: ", end=' ')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print("부모 테이블: ", end=' ')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

• Union-Find 알고리즘의 시간 복잡도

노드의 개수 V, 최대 V - 1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때

O(V + M(1 + log_2-M/VV)

 

Union-Find를 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.

union연산은 그래프에서의 간선으로 표현될 수 있다. 따라서 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어있는 집합을 합치는 과정을 반복하면 사이클을 판별할 수 있다.

 

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

    - 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.

    - 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

 

• 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종류
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

 

 

* 이것이 코딩테스트다 with 파이썬 - 나동빈