플로이드 워셜 알고리즘

 

플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘

 

• 노드의 개수를 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신한다.

• 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

    ex) 1번노드를 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려한다.

         - A -> 1번 노드 -> B 의 비용 확인 후 최단거리 갱신

=> 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B) 쌍을 선택한다. 이후에 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다. 다시말해 _N-1P₂개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인한다.

• K번의 단계에 대한 점화식 : D_ab = min(D_ab, D_ak + D_kb)

• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(N³)이다. O(_N-1P₂)는 O(N²)

 

다익스트라 VS 플로이드 워셜

• 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택하고 해당노드를 거쳐가는 경로를 확인하여 최단 거리 테이블을 갱신해가는 방식이다. • 1차원 리스트 • 그리디 알고리즘

• 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다.  • 2차원 리스트 • 다이나믹 프로그래밍

 

플로이드 워셜 알고리즘 예시

 

초기 테이블 설정

• 연결된 간선 : 그 값, 연결되지 않은 간선 : 무한 

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	INF	6
2번	3	0	7	INF
3번	5	INF	0	4
4번	INF	INF	2	0

 

① 1번노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

=> 1번 노드를 거쳐 갈 때가 더 빠른 경우가 존재한다면 빠른 경우로 최단 거리를 갱신해주는 식이다.

₃P₂ = 6가지 경우만 생각하면 된다.

D₂₃ = min(D₂₃, D₂₁ + D₁₃)

D₂₄ = min(D₂₄, D₂₁ + D₁₄)

D₃₂ = min(D₃₂, D₃₁ + D₁₂)

D₃₄ = min(D₃₄, D₃₁ + D₁₄)

D₄₂ = min(D₄₂, D₄₁ + D₁₂)

D₄₃ = min(D₄₃, D₂₁ + D₁₃)

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	INF	6
2번	3	0	7	9
3번	5	9	0	4
4번	INF	INF	2	0

 

② 2번노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	11	6
2번	3	0	7	9
3번	5	9	0	4
4번	INF	INF	2	0

 

③ 3번노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	11	6
2번	3	0	7	9
3번	5	9	0	4
4번	7	11	2	0

 

④ 4번노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	8	6
2번	3	0	7	9
3번	5	9	0	4
4번	7	11	2	0

 

최종 결과

출발/도찰	1번	2번	3번	4번
1번	0	4	8	6
2번	3	0	7	9
3번	5	9	0	4
4번	7	11	2	0

 

플로이드 워셜 알고리즘 소스코드

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph =[[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=' ')
        # 도달 할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()

 

 

* 이것이 코딩테스트다 with 파이썬 - 나동빈